【A-LEVEL数学】多项式工具箱

多项式运算三步法速查表

多项式运算，尤其是涉及高次方程时，遵循清晰的步骤可以避免混乱。以下是除、乘、代三步法的核心流程：

第一步：除 (Division)

当需要将多项式 P(x) 除以一次式 (x - a) 时：

• 使用多项式长除法 (Long Division) 或 合成除法 (Synthetic Division)。

• 得到结果：P(x) = (x - a) * Q(x) + R，其中 Q(x) 是商式，R 是余数（常数）。

第二步：乘 (Multiplication)

当已知因式，需要还原多项式时：

• 将已知的因式相乘。

• 特别注意展开后的合并同类项，尤其是符号问题。

第三步：代 (Substitution)

应用余数定理和因式定理时：

• 余数定理：求 P(x) 除以 (x - a) 的余数，只需计算 P(a)。

• 因式定理：若 P(a) = 0，则 (x - a) 是 P(x) 的一个因式。

因式定理应用流程图

面对高次多项式因式分解，此流程图是你的解题导航：

[给定多项式 P(x)] → {常数项因数试根} → [代入 P(因数)=0?] → 是 → [找到因式 (x - 根)] → [多项式除法降次] → [对商式 Q(x) 重复流程] → [得到完全因式分解]
→ 否 → [尝试下一个因数] → {常数项因数试根}

关键提示：

• 试根：优先尝试常数项的正负因数。

• 有理根定理（部分考局要求）：若有理根 p/q（最简分数）存在，则 p 是常数项的因数，q 是最高次项系数的因数。

• 二次因式：降次至二次后，使用十字相乘法或求根公式继续分解。

多项式运算自测题（10道）

请独立完成以下题目。

第1题

英文原题：
Find the remainder when x³ - 4x² + 2x + 7 is divided by (x - 2).

中文翻译：
求 x³ - 4x² + 2x + 7 除以 (x - 2) 的余数。

英文解答：
By the Remainder Theorem, remainder = P(2).
P(2) = (2)³ - 4(2)² + 2(2) + 7 = 8 - 16 + 4 + 7 = 3.
The remainder is 3.

中文点评：
直接应用余数定理，将 `x=2` 代入原多项式计算。这是最快捷的方法，无需执行长除法。

第2题

英文原题：
Show that (x - 3) is a factor of 2x³ - 3x² - 11x + 6. Hence, factorise the polynomial completely.

中文翻译：
证明 (x - 3) 是 2x³ - 3x² - 11x + 6 的一个因式。并由此将该多项式完全因式分解。

英文解答：
Let P(x) = 2x³ - 3x² - 11x + 6.
P(3) = 2(27) - 3(9) - 11(3) + 6 = 54 - 27 - 33 + 6 = 0.
Since P(3)=0, by the Factor Theorem, (x-3) is a factor.
Performing polynomial division:
P(x) = (x-3)(2x² + 3x - 2).
Factorising the quadratic: 2x² + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2).
Hence, P(x) = (x-3)(2x-1)(x+2).

中文点评：
第一步用因式定理证明。第二步多项式除法后，得到二次式，必须继续分解直至最简。注意二次项系数不为1时的十字相乘法。

第3题

英文原题：
Given that (x+1) and (x-2) are factors of x⁴ + ax³ + bx² - 7x + 6, find the values of the constants a and b.

中文翻译：
已知 (x+1) 和 (x-2) 是 x⁴ + ax³ + bx² - 7x + 6 的因式，求常数 a 和 b 的值。

英文解答：
Let P(x) = x⁴ + ax³ + bx² - 7x + 6.
Since (x+1) is a factor, P(-1) = 0:
(-1)⁴ + a(-1)³ + b(-1)² - 7(-1) + 6 = 0
1 - a + b + 7 + 6 = 0
-a + b = -14 --- (1)
Since (x-2) is a factor, P(2) = 0:
(2)⁴ + a(2)³ + b(2)² - 7(2) + 6 = 0
16 + 8a + 4b - 14 + 6 = 0
8a + 4b = -8
2a + b = -2 --- (2)
Solving (1) and (2):
(2) - (1): (2a+b) - (-a+b) = -2 - (-14)
3a = 12 => a = 4.
Substitute into (1): -4 + b = -14 => b = -10.

中文点评：
利用因式定理建立关于 `a` 和 `b` 的方程组。计算 `P(-1)` 和 `P(2)` 时需仔细处理符号。解方程组是基础代数运算。

第4题

英文原题：
Solve the cubic equation 2x³ - 5x² - 4x + 3 = 0.

中文翻译：
解三次方程 2x³ - 5x² - 4x + 3 = 0。

英文解答：
Let P(x) = 2x³ - 5x² - 4x + 3.
Factors of constant term 3: ±1, ±3.
P(1) = 2 - 5 - 4 + 3 = -4 ≠ 0
P(-1) = -2 - 5 + 4 + 3 = 0. So (x+1) is a factor.
Divide: P(x) = (x+1)(2x² - 7x + 3).
Factorise quadratic: 2x² - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3).
Thus, P(x) = (x+1)(2x-1)(x-3) = 0.
Solutions are: x = -1, x = 1/2, x = 3.

中文点评：
这是解三次方程的标准流程：试根找第一个因式，多项式除法降次，解二次方程。注意最终解要写全。

第5题

英文原题：
The polynomial 6x³ + ax² + bx + 2 has a factor of (2x - 1) and leaves a remainder of 12 when divided by (x - 2). Find a and b.

中文翻译：
多项式 6x³ + ax² + bx + 2 有因式 (2x - 1)，且除以 (x - 2) 时余数为 12。求 a 和 b。

英文解答：
Let P(x) = 6x³ + ax² + bx + 2.
Since (2x-1) is a factor, P(1/2) = 0:
6(1/8) + a(1/4) + b(1/2) + 2 = 0
3/4 + a/4 + b/2 + 2 = 0
Multiply by 4: 3 + a + 2b + 8 = 0
a + 2b = -11 --- (1)
Remainder when divided by (x-2) is 12, so P(2) = 12:
6(8) + a(4) + b(2) + 2 = 12
48 + 4a + 2b + 2 = 12
4a + 2b = -38
2a + b = -19 --- (2)
Solve (1) and (2): From (2), b = -19 - 2a. Substitute into (1):
a + 2(-19 - 2a) = -11
a - 38 - 4a = -11
-3a = 27 => a = -9.
Then b = -19 - 2(-9) = -19 + 18 = -1.

中文点评：
本题综合了因式定理和余数定理。注意因式 `(2x-1)` 对应的根是 `x=1/2`。建立两个方程时，计算要精确。

第6题

英文原题：
Perform the division: (3x⁴ - 2x² + x - 5) ÷ (x + 1). Express your answer in the form P(x) = (x+1)Q(x) + R.

中文翻译：
执行除法运算：(3x⁴ - 2x² + x - 5) ÷ (x + 1)。将答案表示为 P(x) = (x+1)Q(x) + R 的形式。

英文解答：
Using polynomial long division:
Therefore, 3x⁴ - 2x² + x - 5 = (x+1)(3x³ - 3x² + x) - 5.

中文点评：
长除法中，必须补齐缺失的项（如 `0x³`）。商式 `Q(x)` 是 `3x³ - 3x² + x`，余数 `R` 是 `-5`。注意余数可以是负数。

第7题

英文原题：
If x³ + 4x² + px + q is exactly divisible by (x-1) and leaves a remainder of 12 when divided by (x+2), find p and q.

中文翻译：
如果 x³ + 4x² + px + q 能被 (x-1) 整除，且除以 (x+2) 时余数为 12，求 p 和 q。

英文解答：
Let P(x) = x³ + 4x² + px + q.
Divisible by (x-1) => P(1) = 0:
1 + 4 + p + q = 0 => p + q = -5 --- (1)
Remainder 12 when divided by (x+2) => P(-2) = 12:
-8 + 16 - 2p + q = 12 => 8 - 2p + q = 12 => -2p + q = 4 --- (2)
Solve (1) and (2):
(1) - (2): (p+q) - (-2p+q) = -5 - 4
3p = -9 => p = -3.
Substitute into (1): -3 + q = -5 => q = -2.

中文点评：
“Exactly divisible”意味着余数为0，即因式定理。本题是建立二元一次方程组的经典题型，解法直接。

第8题

英文原题：
Factorise completely: x³ - 2x² - 5x + 6.

中文翻译：
完全因式分解：x³ - 2x² - 5x + 6。

英文解答：
Let P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6.
Try factors of 6: ±1, ±2, ±3, ±6.
P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0. So (x-1) is a factor.
Divide: P(x) = (x-1)(x² - x - 6).
Factorise quadratic: x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2).
Thus, P(x) = (x-1)(x-3)(x+2).

中文点评：
试根时，通常从较小的整数（±1，±2）开始尝试，效率更高。因式分解必须进行到每个因式都是最简（一次或不可约二次式）为止。

第9题

英文原题：
Find the value of k for which (x-2) is a factor of x³ + kx² - 4x - 12.

中文翻译：
求 k 的值，使得 (x-2) 是 x³ + kx² - 4x - 12 的一个因式。

英文解答：
Let P(x) = x³ + kx² - 4x - 12.
If (x-2) is a factor, then P(2) = 0.
(2)³ + k(2)² - 4(2) - 12 = 0
8 + 4k - 8 - 12 = 0
4k - 12 = 0
4k = 12 => k = 3.

中文点评：
直接应用因式定理，将 `x=2` 代入，令其等于0，解一个关于 `k` 的一元一次方程即可。这是最简单的应用题型。

第10题

英文原题：
Given that f(x) = 2x³ - x² - 13x - 6,
(a) Use the factor theorem to show that (x-3) is a factor of f(x).
(b) Hence, solve the equation 2x³ - x² - 13x - 6 = 0.

中文翻译：
已知 f(x) = 2x³ - x² - 13x - 6，
(a) 利用因式定理证明 (x-3) 是 f(x) 的一个因式。
(b) 由此，解方程 2x³ - x² - 13x - 6 = 0。

英文解答：
(a) f(3) = 2(27) - 9 - 13(3) - 6 = 54 - 9 - 39 - 6 = 0.
Since f(3)=0, by the Factor Theorem, (x-3) is a factor.
(b) Dividing f(x) by (x-3):
f(x) = (x-3)(2x² + 5x + 2).
Factorising the quadratic: 2x² + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2).
Thus, f(x) = (x-3)(2x+1)(x+2).
Set f(x)=0: (x-3)(2x+1)(x+2)=0.
Solutions: x = 3, x = -1/2, x = -2.

中文点评：
(a) 部分只需计算验证。 (b) 部分是标准流程，注意因式分解二次式时，二次项系数不为1。

工具箱使用建议：将本页的速查表和流程图保存为图片或打印出来，贴在学习区。定期完成自测题，并对照答案和点评分析错误原因，是巩固知识的最佳途径。